ARITMETICA

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¿QUÉ ES UNA POTENCIA?
Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la que todos sus factores son iguales.
Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:

que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera un 3, sería:53 = 5 × 5 × 5 = 125y se leería “cinco elevado a tres“ o “cinco al cubo”.

Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí mismo. Los cuadrados de los quince primeros números naturales son:

Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres veces ese número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:

Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la cuarta”, “a la quinta”, “a la sexta”…
Si quieres, puedes practicar con los siguientes ejemplos:
Algunas potencias de números naturales
PotenciaBaseExponenteSe lee...Y vale...
7272Siete al cuadrado7 x 7 = 49
4343Cuatro al cubo4 x 4 x 4 = 64
2424Dos a la cuarta2 x 2 x 2 x 2 = 16
6565Seis a la quinta6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776
1616Uno a la sexta1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
3737Tres a la séptima3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2.187



POTENCIAS DE BASE 10
Para escribir números grandes de forma abreviada usamos laspotencias de base 10, que son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Así,
  • El número cien: 100 = 10 × 10 = 102
  • El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 103
  • El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104
  • El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105
  • El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106
  • El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 107 ,y así sucesivamente.

Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 km, la podemos escribir como 15 × 107 km.



DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10
Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos de cada una de sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de unidad que ocupa cada cifra.
Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades, vamos a descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768.
a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U
608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 2 = 6 × 105 + 8 × 103 + 9 × 102 + 1 × 10 + 2
b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U
45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 104 + 5 × 103 + 7 × 102 + 6 × 10 + 8



REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES SOBRE UNA RECTA
Podemos representar sobre una recta los números naturales, para lo cual elegimos la distancia entre el 1 y el 2, y la llevamos a lo largo de dicha recta hasta alcanzar el número que deseemos representar.
A esa recta la llamamos la recta numérica.
Los números naturales forman un conjunto que representamos con la letra N. Observa que en este conjunto N no se encuentra el cero (0) ni los números negativos: no forman parte de los números naturales. Para poderlos incluir, tendremos que ampliar el conjuntoN y definir un nuevo conjunto, que es el conjunto de los números enteros
ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Un número natural es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está situado más a la derecha sobre la recta numérica.
Por ejemplo, 5 > 3, 12 > 7 y 15 > 11:
De la misma forma, un número natural es menor que otro (símbolo <) si está situado más a la izquierda sobre la recta numérica.
Por ejemplo, con las mismas parejas de números anteriores, podemos escribir 3 < 5; 7 < 12 y 11 < 15:
Si quieres, puedes practicar ordenando los números naturales siguientes: 3, 1, 10, 5 y 7.
Los representamos sobre la recta numérica:
Si los escribimos de menor a mayor, resulta:1 < 3 < 5 < 7 < 10
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES
Con los números naturales siempre podemossumar y multiplicar.
Para poder restar dos números naturales, el primer número (que se llama minuendo) ha de ser mayor que el segundo (que se llama sustraendo).
Para poder dividir dos números naturales, el primer número (que se llama dividendo) ha de ser mayor que el segundo (que se llama divisor).
Sobre la recta numérica podemos representar la suma de dos números naturales. Por ejemplo, 5 + 7 = 12:
A partir del punto que representa el 5, damos 7 saltos de una unidad hacia la derecha, y llegamos hasta el punto que representa el número 12.
De la misma forma, podemos representar la resta de dos números naturales (con minuendo mayor que sustraendo). Por ejemplo, 11 – 4 = 7:
A partir del punto que representa el número 11, damos 4 saltos de una unidad hacia la izquierda, y llegamos hasta el punto que representa el número 7.
RAÍZ CUADRADA EXACTA
Calcular la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
Veámoslo para los 12 primeros números naturales:
Las raíces cuadradas de los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, son exactas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, respectivamente. A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les llama cuadrados perfectos. En nuestro caso, 1, 4, 9, 16…, son cuadrados perfectos.
RAÍZ CUADRADA APROXIMADA
Cuando el número del que queremos hallar su raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, podemos calcular entre qué dos números naturales va a estar comprendida su raíz cuadrada. Para ello buscamos los dos cuadrados perfectos entre los que está comprendido el radicando.
Veámoslo con varios ejemplos.
1. Hallamos la
Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 20:
32 = 9 y 9 < 20
42 = 16 y 16 < 20
52 = 25 y 25 > 20
Por tanto, como 16 < 20 < 25:
La raíz cuadrada de 20 será un número decimal comprendido entre 4 y 5.
2. Hallamos la
Probamos con varios cuadrados perfectos que sean menores que 68:
72 = 49 y 49 < 68
82 = 64 y 64 < 68
92 = 81 y 81 > 68
Por tanto, como 64 < 68 < 81:
La raíz cuadrada de 68 será un número decimal comprendido entre 8 y 9.
3. Ángel quiere colocar sus 45 soldaditos de plomo alineados formando un cuadrado. ¿Cuántos soldaditos tendrá que poner en cada fila y en cada columna del cuadrado?
Por ser un cuadrado, el número de soldaditos en cada fila será igual al número de soldaditos en cada columna. Ese número al cuadrado será igual al número total de ellos que formarán el cuadrado, que tiene que ser menor que o igual a 45.
Como 36 < 45 < 49
Tendrá que hacer filas de 6 soldaditos, con lo que utilizará a 6 × 6 = 36 de ellos, y le sobrarán 45 – 36 = 9. Decimos que la raíz cuadrada de 45 tiene de resto 9.
4. Teresa ha cubierto completamente el suelo de un salón cuadrado con 81 baldosas cuadradas. ¿Cuántas ha puesto en cada lado del salón?
En este caso la raíz es exacta: = 9.
Teresa ha puesto 9 baldosas en cada lado, lo que en total suman las 9 × 9 = 81 baldosas.
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